高数基础知识（上）

一、极限

1.1 常见左右极限问题

定义 左极限：若对任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，使得当 $x_0 - \delta < x < x_0$ 时，恒有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x \to x_0^-$ 时的左极限，记为
$$
\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = A, \quad \text{或} \quad f(x_0^-) = A.
$$

右极限 若对任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，使得当 $x_0 < x < x_0 + \delta$ 时，恒有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x \to x_0^+$ 时的右极限，记为
$$
\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = A, \quad \text{或} \quad f(x_0^+) = A.
$$

定理 极限 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在的充要条件是：
左极限 $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)$ 与右极限 $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$ 存在且相等。

---

注：需分左右极限的情形 以下三类问题需分别计算左、右极限：

1. 分段函数在分界点处的极限（如 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$）；
2. $e^\infty$ 型极限：
   • $\lim\limits_{x \to 0^-} e^{1/x} = 0$，$\lim\limits_{x \to 0^+} e^{1/x} = +\infty$；
   • $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$，$\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$；
3. $\arctan \infty$ 型极限：
   • $\lim\limits_{x \to 0^-} \arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2}$，$\lim\limits_{x \to 0^+} \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$；
   • $\lim\limits_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$，$\lim\limits_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$。

---

例题

（1992年，数一/二/三）当 $x \to 1$ 时，函数 $\frac{x^2-1}{x-1} e^{1/(x-1)}$ 的极限
(A) 等于 2 (B) 等于 0 (C) 为 $\infty$ (D) 不存在但不为 $\infty$

解析

1. 左极限：
   $$
   \lim\limits_{x \to 1^-} \frac{x^2-1}{x-1} e^{1/(x-1)} = \lim\limits_{x \to 1^-} (x+1) e^{1/(x-1)} = 2 \cdot 0 = 0.
   $$
2. 右极限：
   $$
   \lim\limits_{x \to 1^+} \frac{x^2-1}{x-1} e^{1/(x-1)} = \lim\limits_{x \to 1^+} (x+1) e^{1/(x-1)} = 2 \cdot +\infty = +\infty.
   $$
   结论：左右极限不相等，且一侧为无穷，故极限不存在且不为 $\infty$。正确答案为 D。

1.2 无穷小量

1.2.1 无穷小量的概念

若函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的极限为零，则称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）的无穷小量。

1.2.2 无穷小的比较

设 $\lim \alpha(x) = 0$，$\lim \beta(x) = 0$，且 $\beta(x) \neq 0$。

1. 高阶：若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$，记为 $\alpha(x) = o(\beta(x))$。
2. 低阶：若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty$。
3. 同阶：若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = C \neq 0$。
4. 等价：若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，记为 $\alpha(x) \sim \beta(x)$。
5. 无穷小的阶：若 $\lim \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k} = C \neq 0$，则称 $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的 $k$ 阶无穷小。

---

（2013, 数二）设 $\cos x - 1 = x \sin \alpha(x)$，其中 $|\alpha(x)| < \frac{\pi}{2}$，则当 $x \to 0$ 时，$\alpha(x)$ 是
(A) 比 $x$ 高阶的无穷小量。
(B) 比 $x$ 低阶的无穷小量。
(C) 与 $x$ 同阶但不等价的无穷小量。
(D) 与 $x$ 等价的无穷小量。

解析：

1. 已知当 $x \to 0$ 时，$\cos x - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$，因此：
   $$
   -\frac{1}{2}x^2 = x \sin \alpha(x) \implies \sin \alpha(x) = -\frac{1}{2}x.
   $$

2. 由 $|\alpha(x)| < \frac{\pi}{2}$ 及 $\sin \alpha(x) \sim \alpha(x)$（当 $x \to 0$），得：
   $$
   \alpha(x) \sim -\frac{1}{2}x.
   $$

3. 故 $\alpha(x)$ 与 $x$ 同阶但不等价（系数为 $-\frac{1}{2} \neq 1$）。

   选择C

---

1.3 无穷大量

1.3.1 无穷大量的性质

1. 两个无穷大量的积仍为无穷大量。
2. 无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量。

1.3.2 无穷大量与无界变量的关系

以数列为例说明两者的关系：

• 无穷大量的定义：
  对任意 $M > 0$，存在 $N > 0$，当 $n > N$ 时，恒有 $|x_n| > M$。
• 无界变量的定义：
  对任意 $M > 0$，存在某个 $N$，使得 $|x_N| > M$。

结论：

• 无穷大量必为无界变量。
• 无界变量不一定是无穷大量。

---

证明数列
$$
x_n = \begin{cases} n, & n \text{为奇数}, \\ 0, & n \text{为偶数}\end{cases}
$$
是无界变量但不是无穷大量。

证明：

1. 无界性：
   对任意 $M > 0$，取奇数 $n > M$，则 $x_n = n > M$，故数列无界。
2. 非无穷大量：
   对任意 $N > 0$，总存在偶数 $n > N$（如 $n = N+1$ 或 $N+2$），使得 $x_n = 0$，不满足 $|x_n| > M$ 对所有 $n > N$ 成立。因此数列不是无穷大量。

---

1.4 常用的求极限方法（8种）

1.4.1 利用基本极限求极限

(1) 常用的基本极限

• $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$
• $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
• $\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$
• $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
• $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \quad (a > 0)$

有理分式极限：
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \cdots + a_0}{b_m x^m + \cdots + b_0} =
\begin{cases}
\frac{a_n}{b_m}, & n = m, \\
0, & n < m, \\
\infty, & n > m.
\end{cases}
$$

幂函数极限：
$$
\lim_{n \to \infty} x^n =
\begin{cases}
0, & |x| < 1, \\
\infty, & |x| > 1, \\
1, & x = 1, \\
\text{不存在}, & x = -1.
\end{cases}
$$

指数函数极限：
$$
\lim_{n \to \infty} e^{nx} =
\begin{cases}
0, & x < 0, \\
+\infty, & x > 0, \\
1, & x = 0.
\end{cases}
$$

(2) “$1^\infty$”型极限常用结论

若 $\lim \alpha(x) = 0$，$\lim \beta(x) = \infty$，且 $\lim \alpha(x) \beta(x) = A$，则
$$
\lim [1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} = e^A.
$$

解题步骤：

1. 写标准形式：原式 $= \lim [1 + \alpha(x)]^{\beta(x)}$。
2. 求极限：$\lim \alpha(x) \beta(x) = A$。
3. 写结果：原式 $= e^A$。

---

1.4.2 利用等价无穷小代换求极限

(1) 代换原则

1. 乘除关系可以换：
   若 $\alpha \sim \alpha_1$, $\beta \sim \beta_1$，则
   $$\lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \frac{\alpha_1}{\beta} = \lim \frac{\alpha}{\beta_1} = \lim \frac{\alpha_1}{\beta_1}.$$

2. 加减关系在一定条件下可以换：

   • 若 $\alpha \sim \alpha_1$, $\beta \sim \beta_1$，且 $\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1} = A \neq 1$，则 $\alpha - \beta \sim \alpha_1 - \beta_1$。
   • 若 $\alpha \sim \alpha_1$, $\beta \sim \beta_1$，且 $\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1} = A \neq -1$，则 $\alpha + \beta \sim \alpha_1 + \beta_1$。

• 等价无穷小代换需验证条件（如 $\alpha(x)\beta(x) \to 0$）。
• 乘除运算可直接代换，加减运算需谨慎（需满足系数不等条件）。

(2) 常用的等价无穷小（当 $x \to 0$ 时）

• 基本等价：
  $$x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln(1+x) \sim e^x - 1,$$
  $$(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x \ (\alpha \neq 0), \quad 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2, \quad a^x - 1 \sim x \ln a.$$

• 高阶等价：
  $$x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3, \quad \tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3, \quad x - \ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2,$$
  $$\arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3, \quad x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3.$$

---

（2016，数三）已知函数 $f(x)$ 满足
$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + f(x)} \sin 2x - 1}{e^{3x} - 1} = 2,$$
则求 $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$。

解析：

1. 由 $\lim\limits_{x \to 0} (e^{3x} - 1) = 0$ 及极限存在，得分子极限必为 0：
   $$\lim\limits_{x \to 0} \left(\sqrt{1 + f(x)} \sin 2x - 1\right) = 0.$$
2. 利用等价无穷小代换：
   • $e^{3x} - 1 \sim 3x$，
   • $\sqrt{1 + f(x)} \sin 2x - 1 \sim \frac{1}{2} f(x) \sin 2x$（当 $f(x) \to 0$ 时）。
3. 代入极限式：
   $$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} f(x) \sin 2x}{3x} = 2 \implies \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) \cdot 2x}{6x} = 2 \implies \lim\limits_{x \to 0} f(x) = 6.$$
   结论：$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 6$。

---

极限计算示例

计算极限：
$$
\lim\limits_{x \to 0} \frac{x (\cos x - 1)}{3}
$$

解题过程：

1. 利用等价无穷小代换（当 $x \to 0$ 时）：

   • $\cos x - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$

2. 代入化简：
   $$
   \lim\limits_{x \to 0} \frac{x (\cos x - 1)}{3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^3}{3} = \lim\limits_{x \to 0} \left(-\frac{x^3}{6}\right) = 0.
   $$
   注：上述步骤有误，正确过程如下：

3. 重新计算：
   $$
   \lim\limits_{x \to 0} \frac{x (\cos x - 1)}{3} = \frac{1}{3} \lim\limits_{x \to 0} x (\cos x - 1) = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0.
   $$

---

推广结论

当 $x \to 0$ 时，$(1 + x)^a - 1 \sim a x$。
进一步推广：若 $\alpha(x) \to 0$ 且 $\alpha(x)\beta(x) \to 0$，则
$$
[1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} - 1 \sim \alpha(x)\beta(x).
$$

应用示例：
$$
\left(1 + \frac{\cos x - 1}{3}\right)^x - 1 \sim \frac{x (\cos x - 1)}{3}.
$$

验证：
由 $\cos x - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$，得
$$
\frac{x (\cos x - 1)}{3} \sim -\frac{x^3}{6} \to 0 \quad (x \to 0).
$$

---

1.4.3 利用有理运算法则求极限

有理运算法则
设 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则：

1. $\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
2. $\lim [f(x)g(x)] = AB$
3. $\lim \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)$

【注】

• (1) 存在 ± 不存在 = 不存在
• (2) 不存在 ± 不存在 = 不一定
• (3) 存在 ×(÷) 不存在 = 不一定
• (4) 不存在 ×(÷) 不存在 = 不一定

常用结论

1. 若 $\lim f(x) = A \neq 0$，则 $\lim f(x)g(x) = A \lim g(x)$。（极限非零因子可先计算）
2. 若 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ 存在且 $\lim g(x) = 0$，则 $\lim f(x) = 0$。
3. 若 $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = A \neq 0$ 且 $\lim f(x) = 0$，则 $\lim g(x) = 0$。

---

（2010，数三）
若 $\lim\limits_{x \to 0} \left[ \frac{1}{x} - \left( \frac{1}{x} - a \right) e^x \right] = 1$，则 $a$ 等于
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

解析：

1. 化简极限式：
   $$
   \lim\limits_{x \to 0} \left[ \frac{1 - e^x}{x} + a e^x \right] = 1.
   $$
2. 计算各部分极限：
   • $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - e^x}{x} = -1$（等价代换 $e^x - 1 \sim x$），
   • $\lim\limits_{x \to 0} a e^x = a$。
3. 由极限运算法则得：$-1 + a = 1 \implies a = 2$。
   答案：C

---

总结

• 有理运算法则要求各部分极限存在，且分母极限非零。
• 处理复杂极限时，可先拆分或化简，再逐项求极限。

---

1.4.4 利用洛必达法则求极限

洛必达法则 若满足以下条件：

1. $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} g(x) = 0$ 或 $\infty$；
2. $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内可导，且 $g’(x) \neq 0$；
3. $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)}$ 存在（或为 $\infty$），

则：
$$
\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)}.
$$

---

【注】

1. 适用类型：
   洛必达法则适用于七种未定式极限：

   • 直接应用：$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$；
   • 需转化后应用：
     • $0 \cdot \infty$（化为 $\frac{0}{1/\infty}$ 或 $\frac{\infty}{1/0}$），
     • $\infty - \infty$（通分或提因式），
     • $1^\infty$、$\infty^0$、$0^0$（取对数化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$）。

2. 注意事项：

   • 使用前需验证条件（如是否为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型）；
   • 若应用后仍为未定式，可重复使用；
   • 极限非零的因子可单独计算，简化运算；
   • 结合等价无穷小代换或恒等变形（如 $\ln(1+x) \sim x$）可大幅简化过程。

---

示例说明
对于未定式 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$：

1. 直接应用：
   $$
   \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \xrightarrow{\text{洛必达}} \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1.
   $$
2. 需转化类型：
   • $1^\infty$ 型：$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \xrightarrow{\text{取对数}} e^{\lim\limits_{x \to \infty} x \ln(1+1/x)} = e^1 = e$。

---

总结

• 洛必达法则是解决未定式极限的有力工具，但需严格验证条件。
• 灵活结合其他方法（如等价代换、因子分离）可提高计算效率。

---

1.4.5 利用泰勒公式求极限

定理（带皮亚诺余项的泰勒公式）
设 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处 $n$ 阶可导，则
$$
f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0) + \frac{f’’(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o[(x - x_0)^n].
$$
特别地，当 $x_0 = 0$ 时（麦克劳林公式）：
$$
f(x) = f(0) + f’(0)x + \frac{f’’(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n).
$$

---

常用泰勒展开（$x \to 0$ 时）

1. 指数函数：
   $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n).$$
2. 三角函数：
   $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + o(x^{2n}),$$
   $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}).$$
3. 对数函数：
   $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n).$$
4. 幂函数：
   $$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n).$$

更多泰勒公式

---

求极限
$$
\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}.
$$

解法1：泰勒展开

1. 将 $\cos x$ 和 $e^{-\frac{x^2}{2}}$ 展开到 $x^4$ 项：
   • $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$，
   • $e^{-\frac{x^2}{2}} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{(\frac{x^2}{2})^2}{2!} + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)$。
2. 代入极限式：
   $$
   \cos x - e^{-\frac{x^2}{2}} = \left( \frac{1}{24} - \frac{1}{8} \right)x^4 + o(x^4) = -\frac{1}{12}x^4 + o(x^4).
   $$
3. 因此：
   $$
   \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{12}x^4 + o(x^4)}{x^4} = -\frac{1}{12}.
   $$

答案：$-\dfrac{1}{12}$

---

总结

• 泰勒公式适用于复杂函数的极限计算，尤其是含高阶无穷小的题目。
• 展开时需根据分母的阶数确定展开的精度（如本题需展开到 $x^4$）。
• 皮亚诺余项 $o(x^n)$ 表示比 $x^n$ 更高阶的无穷小。

---

1.4.5 利用夹逼准则求极限

常用结论

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+···+a_m^n} = a$

---

1.4.6 利用单调有界准则求极限

单调有界定理
若数列 ${x_n}$ 单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则 ${x_n}$ 收敛。

---

设 $x_1 > 0$，$x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{1}{x_n} \right)$，求 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n$。

解题步骤：

1. 证明数列有下界：
   由均值不等式，$x_{n+1} \geq \sqrt{x_n \cdot \frac{1}{x_n}} = 1$，故 $x_n \geq 1$（$n \geq 2$）。
2. 证明数列单调递减：
   • 当 $x_n \geq 1$ 时，$x_{n+1} - x_n = \frac{1 - x_n^2}{2x_n} \leq 0$。
   • 或通过比值：$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{x_n^2} \right) \leq 1$（因 $x_n \geq 1$）。
3. 求极限：
   设 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$，对递推式取极限得：
   $$a = \frac{1}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right) \implies a^2 = 1 \implies a = 1 \quad (\text{舍去 } a = -1).$$

结论：$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = 1$。

---

1.4.7 利用定积分定义求极限

定积分定义 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则：
$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left( a + \frac{k(b-a)}{n} \right) = \int_a^b f(x) dx.$$

---

求极限：
$$\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+n} \right).$$

解题步骤：

1. 改写为求和形式：
   $$\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}.$$
2. 识别定积分形式：
   取 $f(x) = \frac{1}{1+x}$，区间 $[0, 1]$，则：
   $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left( \frac{k}{n} \right) = \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \ln(1+x) \Big|_0^1 = \ln 2.$$

结论：极限值为 $\ln 2$。

利用定积分定义求极限的一般方法是先提可爱因子$\frac{1}{n}$，然后再确定被积函数和积分区间

二、函数

2.1 间断点及其分类

1. 间断点的定义

定义 若 ( f(x) ) 在 ( x_0 ) 的某去心邻域内有定义，但在 ( x_0 ) 处不连续，则称 ( x_0 ) 为 ( f(x) ) 的间断点。

2. 间断点的分类

1. 第一类间断点：左、右极限都存在。

   • 可去间断点：左、右极限存在且相等$(\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) \neq f(x_0)) 或 ( f(x_0) )$ 无定义）。
   • 跳跃间断点：左、右极限存在但不相等$(\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x))$。

2. 第二类间断点：左、右极限至少有一个不存在。

   • 无穷间断点：$(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty)$ 或单侧极限为 $(\infty)$。
   • 振荡间断点：极限振荡不存在（如$ ( \sin \frac{1}{x} ) 在 ( x=0 ) 处$）。

示例：

• 函数$ ( y = \sin \frac{1}{x} )$ 在 $( x=0 ) $处无定义，且左、右极限均不存在（无限振荡），故$ ( x=0 ) $为振荡间断点。

---

2.2 连续性的运算与性质

定理

1. 四则运算连续性：
   若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则以下函数在 $x_0$ 处也连续：

   • $f(x) \pm g(x)$
   • $f(x) \cdot g(x)$
   • $\frac{f(x)}{g(x)}$（$g(x_0) \neq 0$）

2. 复合函数连续性：
   若 $u = \varphi(x)$ 在 $x_0$ 处连续且 $\varphi(x_0) = u_0$，$y = f(u)$ 在 $u_0$ 处连续，则复合函数 $y = f[\varphi(x)]$ 在 $x_0$ 处连续。

3. 初等函数连续性：

   • 基本初等函数在其定义域内连续。
   • 初等函数在其定义区间内连续（定义区间是定义域内的区间）。

---

2.3 闭区间上连续函数的性质

定理

1. 最值定理：
   闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 必有最大值 $M$ 和最小值 $m$。

2. 有界性定理：
   $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 必有界（即存在 $K > 0$，使得 $|f(x)| \leq K$）。

3. 介值定理：
   若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \neq f(b)$，则对任意 $C$ 介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f(\xi) = C$。

4. 零点定理：
   若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f(\xi) = 0$。

推论：
闭区间上的连续函数可取到最小值 $m$ 和最大值 $M$ 之间的所有值。

---

注

• 零点定理常用于证明方程根的存在性（如 $f(x) = 0$ 在 $(a, b)$ 内有解）。
• 定义区间需严格属于定义域（如 $\sqrt{x}$ 的定义区间为 $[0, +\infty)$）。

---

示例应用
证明方程 $x^3 - 3x + 1 = 0$ 在 $(1, 2)$ 内有根：

1. 设 $f(x) = x^3 - 3x + 1$，则 $f(1) = -1$，$f(2) = 3$。
2. 由零点定理，存在 $\xi \in (1, 2)$ 使得 $f(\xi) = 0$。

---

三、导数与微分

3.1 导数的定义

定义1（导数）
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若极限
$$
f’(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$$
存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并称此极限为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $f’(x_0)$ 或 $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}$。

定义2（单侧导数）

• 右导数：$f’_ +(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
• 左导数：$f’_ -(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

定理：$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导 $\Leftrightarrow$ $f’_ +(x_0) = f’_ -(x_0)$。

---

3.2 微分的定义

定义（微分）
若函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的增量 $\Delta y$ 可表示为
$$
\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x) \quad (\Delta x \to 0),
$$
其中 $A$ 与 $\Delta x$ 无关，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，并称 $A \Delta x$ 为微分，记作 $dy = A \Delta x$ 或 $df(x_0) = A \Delta x$。

定理：$f(x)$ 在 $x_0$ 处可微 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $dy = f’(x_0) \Delta x$。
通常记 $\Delta x = dx$，故 $dy = f’(x_0) dx$。

---

3.2.1 导数与微分的几何意义

(1) 导数的几何意义

• 切线斜率：导数 $ f’(x_0) $ 表示曲线 $y = f(x) $ 在点$(x_0, f(x_0)) $ 处切线的斜率。

• 切线方程：$y - f(x_0) = f’(x_0)(x - x_0)$

  • 若 $ f’(x_0) \neq 0 $，法线方程为：$y - f(x_0) = -\frac{1}{f’(x_0)}(x - x_0)$
  • 若 $ f’(x_0) = 0 $，切线为水平线 $ y = f(x_0) $。

• 注：可导必存在切线，但存在切线未必可导（如 $ y = x^{1/3} $ 在 $ x=0 $ 处有垂直切线但不可导）。

(2) 微分的几何意义

• 微分 ( dy )：表示切线上纵坐标的增量，即：$dy = f’(x_0) dx$
• 实际增量 $\Delta y$：表示曲线上纵坐标的真实增量：$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
• 关系：当 $ \Delta x \to 0 $ 时，$\Delta y \approx dy $，误差为高阶无穷小 $ o(\Delta x) $。

---

3.3 基本求导法则

(1) 高阶导数

$n$ 阶导数记作：
$$
f^{(n)}(x) = \frac{d^n y}{dx^n}
$$

常见高阶导数公式：

• $(e^x)^{(n)} = e^x$
• $(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
• $(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
• $\left(\frac{1}{1+x}\right)^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(1+x)^{n+1}}$

---

（2）基本初等函数导数公式

1. $(C)’ = 0$
2. $(x^\alpha)’ = \alpha x^{\alpha-1}$
3. $(a^x)’ = a^x \ln a$
4. $(e^x)’ = e^x$
5. $(\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a}$
6. $(\ln |x|)’ = \frac{1}{x}$
7. $(\sin x)’ = \cos x$
8. $(\cos x)’ = -\sin x$
9. $(\tan x)’ = \sec^2 x$
10. $(\cot x)’ = -\csc^2 x$
11. $(\sec x)’ = \sec x \tan x$
12. $(\csc x)’ = -\csc x \cot x$
13. $(\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
14. $(\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
15. $(\arctan x)’ = \frac{1}{1+x^2}$
16. $(\operatorname{arccot} x)’ = -\frac{1}{1+x^2}$

---

（3） 求导法则

3.3.1 有理运算法则：

• $(u \pm v)’ = u’ \pm v’$
• $(uv)’ = u’v + uv’$
• $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v - uv’}{v^2} \quad (v \neq 0)$

3.3.2 复合函数求导（链式法则）：

设 $u = \varphi(x)$ 可导，$y = f(u)$ 可导，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f’(u) \varphi’(x)
$$

3.3.3 反函数求导

若 $y=f(x)$ 可导且 $f’(x) \neq 0$，则反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的导数为
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{f’(x)}$。

---

3.3.4 隐函数求导

设函数 $y = y(x)$ 由方程 $F(x, y) = 0$ 确定，求导步骤如下：

1. 方程两边对 $x$ 求导：
   将 $F(x, y) = 0$ 视为关于 $x$ 的恒等式，对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数，需使用链式法则）。
2. 解出 $y’$：
   整理导数方程，解出 $\frac{dy}{dx}$。

或者：

若 $F(x, y)$ 可微且 $\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0$，则：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$

---

（1993，数三） 函数 $y = y(x)$ 由方程 $\sin(x^2 + y^2) + e^x - xy^2 = 0$ 确定，求 $\frac{dy}{dx}$。

解题步骤：

1. 对原方程两边求导：
   $$
   \begin{align*}
   \frac{d}{dx}\left[\sin(x^2 + y^2) + e^x - xy^2\right] &= 0 \\
   \cos(x^2 + y^2) \cdot (2x + 2y\frac{dy}{dx}) + e^x - \left(y^+ 2xy\frac{dy}{dx}\right) &= 0
   \end{align*}
   $$

2. 整理关于 $\frac{dy}{dx}$ 的方程：
   $$
   \begin{align*}
   2x\cos(x^2 + y^2) + 2y\cos(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} + e^x - y^2 - 2xy\frac{dy}{dx} &= 0 \\
   \left[2y\cos(x^2 + y^2) - 2xy\right]\frac{dy}{dx} &= y^2 - e^x - 2x\cos(x^2 + y^2)
   \end{align*}
   $$

3. 解出导数：
   $$
   \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - e^x - 2x\cos(x^2 + y^2)}{2y\cos(x^2 + y^2) - 2xy}
   $$

关键点：

• 对 $\sin(x^2 + y^2)$ 求导需用链式法则。
• 方程中 $y$ 视为 $x$ 的函数，故 $xy^2$ 的导数为 $y^2 + 2xy y’$。

---

注：

• 实际计算时，也可直接对原方程两边求导（无需引入 $F$），再解出 $y’$。

---

3.3.5 参数方程求导

设函数 $y = y(x)$ 由参数方程
$$
\begin{cases}
x = \varphi(t), \\
y = \psi(t)
\end{cases} \quad (a < t < \beta)
$$
确定，则：

一阶导数 若 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 可导，且 $\varphi’(t) \neq 0$，则：
$$
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)}\\
&=\frac{y’}{x’}
\end{align*}
$$

二阶导数 若 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 二阶可导，且 $\varphi’(t) \neq 0$，则：
$$
\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)} \right) \cdot \frac{1}{\varphi’(t)} = \frac{\psi’’(t)\varphi’(t) - \varphi’’(t)\psi’(t)}{[\varphi’(t)]^3}
$$

---

推导说明：

1. 一阶导数直接由链式法则得到：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$。

2. 二阶导数为：
   $$
   \begin{align*}
   \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\\
   &= \frac{d}{dt}\left(\frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)}\right) \cdot \frac{dt}{dx} \\
   &= \frac{\psi’’(t)\varphi’(t) - \psi’(t)\varphi’’(t)}{[\varphi’(t)]^2} \cdot \frac{1}{\varphi’(t)}
   \end{align*}
   $$

示例：
设参数方程：
$$
\begin{cases}
x = t^2, \\
y = t^3
\end{cases}
$$
则：

• 一阶导：$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$
• 二阶导：$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{6t \cdot 2t - 2 \cdot 3t^2}{(2t)^3} = \frac{6t^2}{8t^3} = \frac{3}{4t}$

---

3.3.6 对数求导

---

3.5 微分中值定理

1. 费马定理：
   若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取得极值，则 $f’(x_0) = 0$。

2. 罗尔定理：
   若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f’(\xi)=0$。

3. 拉格朗日中值定理：
   若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得
   $$
   f(b) - f(a) = f’(\xi)(b-a).
   $$

4. 柯西中值定理：
   若 $f(x), g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $g’(x) \neq 0$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得
   $$
   \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}.
   $$

---

3.6 泰勒公式

3.6.1 带佩亚诺余项的泰勒公式

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则
$$
f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n).
$$
特别地，当 $x_0=0$ 时（麦克劳林公式）：
$$
f(x) = f(0) + f’(0)x + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n).
$$

---

3.6.2 拉格朗日型余项泰勒公式

定理 设函数 $ f(x) $ 在包含 $ x_0 $ 的开区间 $ (a, b) $内有直到 $ n+1 $ 阶的导数，则对任意 $ x \in (a, b) $ 有：
$$
f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0) + \frac{ f’’(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n + R_n(x)
$$
其中拉格朗日型余项：
$$
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}, \quad \xi \text{ 介于 } x_0 \text{ 与 } x \text{ 之间}
$$

更多泰勒公式

---

注：

• 导数反映函数变化的瞬时速率，微分描述局部线性近似。
• 微分中值定理是连接函数与导数的桥梁，泰勒公式提供了函数的多项式逼近。
• 皮亚诺余项描述局部逼近精度，拉格朗日余项提供全局误差估计

---

3.7 导数应用

3.7.1 函数的单调性

定理 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导：

1. 若在 $(a,b)$ 内 $f’(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增。
2. 若在 $(a,b)$ 内 $f’(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调减。

---

3.7.2 函数的极值

定义

• 极值点：若 $x_0$ 的某邻域内恒有 $f(x) \leq f(x_0)$（或 $f(x) \geq f(x_0)$），则称 $x_0$ 为极大值点（或极小值点）。
• 驻点：导数为零的点（$f’(x_0) = 0$）。

定理（极值的必要条件） 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且 $x_0$ 为极值点，则 $f’(x_0) = 0$。

定理（极值的第一充分条件）
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内可导且 $f’(x_0) = 0$（或 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续）：

1. 若 $f’(x)$ 在 $x_0$ 左侧为正、右侧为负，则 $x_0$ 为极大值点。
2. 若 $f’(x)$ 在 $x_0$ 左侧为负、右侧为正，则 $x_0$ 为极小值点。
3. 若 $f’(x)$ 在 $x_0$ 两侧同号，则 $x_0$ 不是极值点。

定理（极值的第二充分条件）
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导且 $f’(x_0) = 0$：

1. 若 $f’’(x_0) < 0$，则 $x_0$ 为极大值点。
2. 若 $f’’(x_0) > 0$，则 $x_0$ 为极小值点。
3. 若 $f’’(x_0) = 0$，无法判定。

---

3.7.3 函数的最大值与最小值

定义
若对任意 $x \in [a,b]$ 有 $f(x) \leq f(x_0)$（或 $f(x) \geq f(x_0)$），则称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值（或最小值）,称$x_0$为 $f(x)$在 $[a,b]$上的最大值点（或最小值点）

求连续函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上最值的步骤：

1. 求 $(a,b)$ 内的驻点（$f’(x)=0$）和不可导点 $x_1,x_2,\cdots,x_n$。
2. 计算这些点及端点处的函数值：
   $$f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_n), f(a), f(b)$$
3. 比较所有函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。

注：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内仅有唯一极值点，则该极值即为最值。

---

3.7.4 函数的最值与凹凸性

定义（凹凸性）
设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续：

• 凹：对任意 $x_1,x_2 \in I$，有

  $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$

• 凸：对任意 $x_1,x_2 \in I$，有
  $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$

判别定理
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内二阶可导：

• $f’’(x)>0$：曲线为凹。
• $f’’(x)<0$：曲线为凸。

拐点定义 连续曲线凹凸性的分界点称为拐点。

拐点判定定理

1. 必要条件：若 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点且 $f’’(x_0)$ 存在，则 $f’’(x_0)=0$。
2. 第一充分条件：
   • 若 $f’’(x)$ 在 $x_0$ 左右异号，则 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点。
   • 若同号，则不为拐点。
3. 第二充分条件：
   若 $f’’(x_0)=0$ 且 $f’’’(x_0)\neq 0$，则 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点。

注：

• 最值需比较所有临界点和端点的函数值。
• 拐点需同时验证二阶导数为零和凹凸性变化。

---

3.7.5 曲线的渐近线

定义 若曲线 $y = f(x)$ 上的点 $M$ 无限远离原点时与直线 $L$ 的距离趋近于零，则称 $L$ 为 $y = f(x)$ 的渐近线：

• 水平渐近线：$L$ 平行于 $x$ 轴
• 铅直渐近线：$L$ 垂直于 $x$ 轴
• 斜渐近线：$L$ 既不平行也不垂直于 $x$ 轴

求法：

1. 水平渐近线：
   若 $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A$（或 $x \to +\infty$、$x \to -\infty$），则 $y = A$ 为水平渐近线。
2. 铅直渐近线：
   若 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$（单侧极限亦可），则 $x = x_0$ 为铅直渐近线。
3. 斜渐近线：
   若 $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ 且 $\lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - ax] = b$，则 $y = ax + b$ 为斜渐近线。

---

3.7.6 函数的作图

利用函数的以下性质绘制曲线：

• 单调性与极值
• 凹凸性与拐点
• 渐近线

---

3.7.7 曲线的弧微分与曲率

弧微分：若 $y = f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有连续导数，则
$$
ds = \sqrt{1 + y’^2} dx
$$

曲率：若 $y = f(x)$ 有二阶导数，则
$$
K = \frac{|y’’|}{(1 + y’^2)^{3/2}}
$$
曲率半径：$\rho = \frac{1}{K}$。

曲率圆：在点 $M(x,y)$ 处，以曲率中心 $D$ 为圆心、$\rho$ 为半径的圆称为曲率圆。

注：

• 斜渐近线需同时计算斜率 $a$ 和截距 $b$。
• 铅直渐近线通常出现在函数无定义点（如分母为零）。

---

3.8 常见题型

（1）求函数的极值和最值及确定曲线的凹向和拐点

（2）求渐近线（只有三种）

（3）方程的根

（4）函数不等式

（5）中值定理证明

三角函数

高数基础知识下