线代一轮复习
本文最后更新于 2025-07-02 18:44:41
1、行列式
1.1 性质
转置性质
行列式转置后值不变：
$$|A^T| = |A|$$行/列互换
两行（或列）互换，行列式变号。若两行（或列）相同，行列式为0。公因子提取
某行（或列）有公因子$k$，可提出：- 推论1：某行（或列）全为0，行列式为0。
- 推论2：两行（或列）成比例，行列式为0。
行列式拆分
若某行（或列）为两元素之和，可拆分为两个行列式之和：
$$
\begin{vmatrix}a_1+b_1 & \cdots \\ \vdots & \ddots\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_1 & \cdots \\ \vdots & \ddots\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}b_1 & \cdots \\ \vdots & \ddots\end{vmatrix}
$$倍加性质
某行（或列）的$k$倍加到另一行（或列），行列式值不变。
1.2 行列式展开公式
余子式与代数余子式
- 余子式$M_{ij}$：划去$a_{ij}$所在行、列得到的$(n-1)$阶行列式。
- 代数余子式$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$。
展开定理
定理1.1：行列式可按任意行（列）展开：
$$
|A| = \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik} \quad \text{（按第$i$行展开）}
$$$$
|A| = \sum_{k=1}^n a_{kj}A_{kj} \quad \text{（按第$j$列展开）}
$$定理1.2：不同行（列）的代数余子式乘积和为0：
$$
\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk} = 0 \quad (i \ne j)
$$
1.3 特殊行列式
三角形行列式
上（下）三角行列式等于主对角线元素乘积：
$$
\begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & & a_{nn}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}
$$副对角线行列式
$$
\begin{vmatrix}0 & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0\end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}
$$分块行列式（拉普拉斯展开）
若$A$为$m$阶，$B$为$n$阶矩阵：
$$
\begin{vmatrix}A & * \\ O & B\end{vmatrix} = |A|\cdot|B|
$$$$
\begin{vmatrix}O & A \\ B & *\end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A|\cdot|B|
$$
- 范德蒙行列式
$$
\begin{vmatrix}1 & \cdots & 1 \\ x_1 & \cdots & x_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}\end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (x_i - x_j)
$$
注：
1.4 克拉默法则
定理1.3（克拉默法则）
对于由 ( n ) 个方程、( n ) 个未知量构成的非齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n
\end{cases}
$$
若其系数行列式 ( $|A| \neq 0 $)，则方程组有唯一解：
$$
x_i = \frac{|A_i|}{|A|}, \quad i = 1, 2, \cdots, n
$$
其中 ($ |A_i| $) 是将 $( |A| $) 的第 ($ i $) 列替换为常数项 ( $b_1, b_2, \cdots, b_n $) 所得的行列式。
注：
- 唯一解条件：仅当 ($ |A| \neq 0 $) 时适用。
- 特殊情况：
- 若 ( $|A| = 0 $)，方程组可能无解或有无穷多解，但不可能有唯一解。
推论（齐次线性方程组）
对于齐次线性方程组（常数项全为0）：
- 若 ( $|A| \neq 0 $)，方程组仅有零解 ($ x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0 $)。
- 若 ($ |A| = 0 $)，方程组存在非零解（无穷多解）。
2、矩阵
2.1 矩阵多项式
2.2 运算法则
(1) 加法
设 $A$, $B$, $C$ 为同型矩阵，则：
- 交换律：$A + B = B + A$
- 结合律：$(A + B) + C = A + (B + C)$
- 零矩阵：$A + O = A$（$O$ 为同型零矩阵）
- 负矩阵：$A + (-A) = O$
(2) 数乘矩阵
设 $k$, $m$ 为标量，则：
- 结合性：$k(mA) = (km)A = m(kA)$
- 分配律：$(k + m)A = kA + mA$
- 线性性：$k(A + B) = kA + kB$
- 单位数乘：$1A = A$, $0A = O$
(3) 乘法
若矩阵 $A$, $B$, $C$ 满足乘法条件，则：
- 结合律：$(AB)C = A(BC)$
- 左分配律：$A(B + C) = AB + AC$
- 右分配律：$(B + C)A = BA + CA$
(4) 转置
- 和的转置：$(A + B)^T = A^T + B^T$
- 数乘转置：$(kA)^T = kA^T$
- 积的转置：$(AB)^T = B^T A^T$
- 转置的转置：$(A^T)^T = A$
注：矩阵乘法一般不满足交换律（即 $AB \neq BA$）。
2.3 对角矩阵的性质与运算
对角矩阵乘法
两个对角矩阵相乘结果仍为对角矩阵，且元素为对应位置相乘:
$$
\begin{bmatrix}
a_1 & 0 & 0 \\
0 & a_2 & 0 \\
0 & 0 & a_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_1 & 0 & 0 \\
0 & b_2 & 0 \\
0 & 0 & b_3
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a_1 b_1 & 0 & 0 \\
0 & a_2 b_2 & 0 \\
0 & 0 & a_3 b_3
\end{bmatrix}
$$
性质
交换律
对角矩阵乘法可交换：$\Lambda_1 \Lambda_2 = \Lambda_2 \Lambda_1$。逆矩阵
若对角元素均非零（$a_i \neq 0$），其逆矩阵为元素取倒数：
$$
\begin{bmatrix}
a_1 & 0 & 0 \\
0 & a_2 & 0 \\
0 & 0 & a_3
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{a_1} & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{a_2} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{a_3}
\end{bmatrix}
$$
2.4 伴随矩阵
设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵（$n \geq 2$），其伴随矩阵 $A^*$（或记作 $\text{adj}(A)$）定义为：
$$
A^* = \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
\end{bmatrix}
$$
其中 $A_{ij}$ 是矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 的代数余子式（Cofactor），即：
$$
A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},
$$
$M_{ij}$ 是 $A$ 删去第 $i$ 行第 $j$ 列后得到的 $(n-1)$ 阶子矩阵的行列式。
伴随矩阵的公式：
$AA^* = A^*A = |A|E$
$(A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \frac{1}{|A|}A$ ($|A|\neq 0$)
$(kA)^* = k^{n-1}A^*$
$(A^*)^{\top} = (A^{\top})^*$
$|A^*| = |A|^{n-1}$
$(A^*)^* = |A|^{n-2}A$ ($n \geq 2$)
2.4 可逆矩阵的概念与定理
定义 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $B$ 使得
$AB = BA = E$（单位矩阵）
成立，则称 $A$ 是可逆矩阵或非奇异矩阵，$B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记成 $A^{-1} = B$。
定理 2.1 若 $A$ 可逆，则 $A$ 的逆矩阵唯一。
定理 2.2 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $|A| \neq 0$。
定理 2.3 设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵且 $AB = E$，则 $BA = E$。
3. $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件
- 存在 $n$ 阶矩阵 $B$，使 $AB = E$（或 $BA = E$）
- $|A| \neq 0$，或秩 $r(A) = n$，或 $A$ 的列（行）向量线性无关
- 齐次方程组 $Ax = 0$ 只有零解
- $\forall b$，非齐次线性方程组 $Ax = b$ 总有唯一解
- 矩阵 $A$ 的特征值全不为 0
4. 逆矩阵的运算性质
若 $k \neq 0$, $A$ 可逆，则 $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$。
若 $A, B$ 可逆，则 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，特别地 $(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2$。
若 $A^{\top}$ 可逆，则 $(A^{\top})^{-1} = (A^{-1})^{\top}$；$(A^{-1})^{-1} = A$；$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$。
注意 即使 $A, B$ 和 $A + B$ 都可逆，一般地 $(A + B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$。
5. 求逆矩阵的方法
方法一 用公式，若 $|A|\neq0$，则 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$。
方法二 初等变换法。$(A:E) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (E:A^{-1})$。
方法三 用定义求 $B$，使 $AB=E$ 或 $BA=E$，则 $A$ 可逆，且 $A^{-1}=B$。
方法四 用分块矩阵。
设 $B,C$ 都是可逆矩阵，则
$$
\begin{bmatrix}
B & O \\
O & C
\end{bmatrix}^{-1} =
\begin{bmatrix}
B^{-1} & O \\
O & C^{-1}
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
O & B \\
C & O
\end{bmatrix}^{-1} =
\begin{bmatrix}
O & C^{-1} \\
B^{-1} & O
\end{bmatrix}
$$
3、向量
3.1线性组合和线性表示
- 给定向量组 $A：a_1,a_2,a_3,…,a_m$，对于任何一组实数$k_1,k_2,k_3,…,k_m$，表达式 $k_1a_1+k_2a_2+k_3a_3+···+k_ma_m$ 称为向量组 A 的一个线性组合，$k_1,k_2,k_3,…,K_m$称为这个线性组合的系数
- 给定向量组 $A：a_1,a_2,a_3,…,a_m$，向量 $b$ ，如果存在一组数$λ_1,λ_2,λ_3,···,λ_m$，使 $b=λ_1a_1+λ_2a_2+λ_3a_3+···+λ_ma_m$ ，则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示
定理：
- 向量 $b$ 由向量组 $A：a_1,a_2,a_3,…,a_m$ 表示的充分必要条件是矩阵 $A=(a_1,a_2,a_3,···,a_m)$ 的秩等于矩阵 $B=(a_1,a_2,a_3,…,a_m,b)$ 的秩
- 若 A ，B能互相表示，则称他们是等价的
- 向量组 A 能由向量组 B 线性表示的充分必要条件为 $R(A)=R(A,B)$，或者$R(A) ≤ R(B)$，等价的充要条件为 $R(A)=R(B)=R(A,B)$
3.2 线性相关与线性无关
- 给定向量组 $A：a_1,a_2,a_3,…,a_m$，存在不全为零实数$k_1,k_2,k_3,…,k_m$，使 $k_1a_1+k_2a_2+k_3a_3+···+k_ma_m = 0$ ，则称向量组 A 是线性相关的，否则称他线性无关
简单来说：
- 线性相关：有非零解
- 线性无关：只有零解
重要结论：
- 方阵形式：直接判断行列式的值是否为零，线性相关D为0，线性无关D不为0
- 行数大于列数的矩阵：判断齐次线性方程组的解，线性相关有非零解，线性无关只有零解
- 列数大于行数的矩阵：向量个数大于维数，一定线性相关
向量组 $a_1,a_2,a_3,…,a_m$ 线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可由其余 m -1 个向量线性表示
向量组 $a_1,a_2,a_3,…,a_m$ 线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余 m -1 个向量线性表示
若向量组 $a_1,a_2,a_3,…,a_m$ 线性无关，而向量组 $a_1,a_2,a_3,…,a_m,b$ 线性相关，则 b 可由 $a_1,a_2,a_3,…,a_m$ 线性表示，且表达式唯一
注：线性表示和线性相关性是不同的概念
- 若部分线性相关，则整个向量组也线性相关
- 若整体线性无关，则任意一个部分也线性无关
- 如果n维向量组$a_1,a_2,a_3,…,a_m$ 线性无关，则在每一个向量上都添加 m 个分量，得到的 n+m 维接长的向量组也线性无关
- 如果n维向量组 $a_1,a_2,a_3,…,a_m$ 线性相关，则在每一个向量上都减去 m 个分量，得到的 n-m 维截断的向量组也线性相关
- 向量组线性无关 ⇔ 秩等于向量个数
- 线性相关 ⇔ 秩小于向量个数
3.3 向量组的秩
定义：向量组的极大无关组所包含向量的个数，称为向量组的的秩
定理：
- 如果两个向量组的秩相等，且其中一个向量组可由另一个线性表示，则两个向量组等价
行向量组与列向量组：
- 行向量组的秩为行秩，列向量组的秩为列秩
- 行秩=列秩=矩阵的秩
3.4 极大无关组
定义：设向量组 $A：a_1,a_2,a_3,…,a_m$中有一部分向量组 $a_1,a_2,a_3,…,a_r (r<n)$满足
- $a_1,a_2,a_3,…,a_r $线性无关
- 向量组 A 中任意 $r+1$(如果有 $r+1$个向量的话) ，则称 $a_1,a_2,a_3,…,a_r $是向量组 A 的一个极大线性无关组。简称为极大无关组
求向量组极大无关组的方法：先将列向量组构成矩阵A，然后对A实行初等行变换，把A化为行最简型矩阵，由行最简型矩阵列之间的关系，确定原向量组间的线性关系，从而确定极大无关组。(行最简型矩阵中每行首个非零元素所在的列)
3.5 内积
3.5.1 定义与性质
内积定义：对于向量$\mathbf{a}=(a_1,…,a_n)$和$\mathbf{b}=(b_1,…,b_n)$，其内积为：
$$[\mathbf{a},\mathbf{b}] = \sum_{i=1}^n a_ib_i$$矩阵内积：对于$m×n$矩阵$A,B$，其内积为：
$$[A,B] = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ij}$$向量长度（范数）：
$$|\mathbf{a}| = \sqrt{[\mathbf{a},\mathbf{a}]} = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}$$单位向量：若$|\mathbf{a}|=1$，则称$\mathbf{a}$为单位向量
施瓦茨不等式：
$$|[\mathbf{a},\mathbf{b}]| \leq |\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}|$$
3.5.2 重要性质
- 对称性：$[\mathbf{a},\mathbf{b}]=[\mathbf{b},\mathbf{a}]$
- 线性性：$[k\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{c}]=k[\mathbf{a},\mathbf{c}]+[\mathbf{b},\mathbf{c}]$
- 正定性：$[\mathbf{a},\mathbf{a}] \geq 0$，且$[\mathbf{a},\mathbf{a}]=0 \iff \mathbf{a}=\mathbf{0}$
例题1：计算向量$\mathbf{a}=(1,2,3)$和$\mathbf{b}=(4,-5,6)$的内积和长度。
解：
内积：
$$[\mathbf{a},\mathbf{b}] = 1×4 + 2×(-5) + 3×6 = 4-10+18=12$$长度：
$$|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}$$
$$|\mathbf{b}| = \sqrt{4^2+(-5)^2+6^2} = \sqrt{77}$$
3.6 正交向量组
3.6.1 基本概念
- 正交定义：若$[\mathbf{a},\mathbf{b}]=0$，则称向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$正交
- 正交向量组：由非零向量组成的向量组，其中任意两个不同向量都正交
- 标准正交基：由单位向量组成的正交向量组
3.6.2 重要定理
正交向量组的线性无关性：
任何正交向量组都是线性无关的Gram-Schmidt正交化：
可将线性无关向量组转化为正交向量组：- $\mathbf{b}_1 = \mathbf{a}_1$
- $\mathbf{b}_2 = \mathbf{a}_2 - \frac{[\mathbf{a}_2,\mathbf{b}_1]}{[\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_1]}\mathbf{b}_1$
- $\mathbf{b}_3 = \mathbf{a}_3 - \frac{[\mathbf{a}_3,\mathbf{b}_1]}{[\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_1]}\mathbf{b}_1 - \frac{[\mathbf{a}_3,\mathbf{b}_2]}{[\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_2]}\mathbf{b}_2$
- …
例题2：验证向量组$\mathbf{a}_1=(1,1,1)$，$\mathbf{a}_2=(1,-1,0)$，$\mathbf{a}_3=(1,1,-2)$是否正交。
解：
计算各对内积：
- $[\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2] = 1×1 + 1×(-1) + 1×0 = 0$
- $[\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_3] = 1×1 + 1×1 + 1×(-2) = 0$
- $[\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3] = 1×1 + (-1)×1 + 0×(-2) = 0$
因此该向量组是正交向量组。
例题3：将线性无关向量组$\mathbf{a}_1=(1,1,0)$，$\mathbf{a}_2=(1,0,1)$，$\mathbf{a}_3=(0,1,1)$正交化。
解：
使用Gram-Schmidt正交化：
- $\mathbf{b}_1 = \mathbf{a}_1 = (1,1,0)$
- $\mathbf{b}_2 = \mathbf{a}_2 - \frac{[\mathbf{a}_2,\mathbf{b}_1]}{[\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_1]}\mathbf{b}_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = (\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)$
- $\mathbf{b}_3 = \mathbf{a}_3 - \frac{[\mathbf{a}_3,\mathbf{b}_1]}{[\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_1]}\mathbf{b}_1 - \frac{[\mathbf{a}_3,\mathbf{b}_2]}{[\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_2]}\mathbf{b}_2 = (0,1,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) - \frac{1/2}{3/2}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1) = (-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$
最终得到正交向量组：$\mathbf{b}_1=(1,1,0)$，$\mathbf{b}_2=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)$，$\mathbf{b}_3=(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$
4、线性方程组
4.1 非齐次
- 线性方程组 $A_{mn}$ * $x$=b 有解的 充要条件 是 r(A，b)= r(A)
- 当线性方程组 $A_{mn} * x$=b 有解时：r 为秩，n为系数项数，即未知量的个数(列向量个数)
- 若 r(A，b)= r(A)=r = n，方程组有唯一解
- 若 r(A，b)= r(A)=r < n，方 程组有无穷多解
- 同理， $A_{mn }* x $=b 无解的充要条件是 r(A，b)!=r(A)
4.2 齐次线性方程组解的判定
齐次线性方程组一定满足：$r(A,b)$=$r(A)$
- 齐次线性方程组$A_{mn} * x=0$ 只有零解的充要条件是 r(A)= n
- 齐次线性方程组$A_{mn} * x=0$ 有非零解的充要条件是 r(A)< n（有非零解即为无穷多解）
4.3齐次线性方程组的解的结构
解向量的概念
若齐次线性方程组有非零解，则它会有无穷多解，这些解组成一个n维向量组，若能求出这个向量组的一个极大无关组，则就能用它来表示它的全部解，这个极大无关组称为齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组有非零解，则它一定有基础解系。
- 定理1：如果齐次线性方程组$A_{mn} * x=0$ 的系数矩阵A的秩 $r(A)= r < n$，则$A_{mn} * x=0$ 的基础解系中有 $n-r$ 个解向量
4.4非齐次线性方程组的解的结构
非齐次线性方程组的解的结构为：非齐次线性方程组的特解 + 齐次线性方程组的通解。
求线性方程组通解的一般步骤
齐次线性方程组：
- 对于增广矩阵化简为 行最简型矩阵
- 判断解的情况并且得到解向量的个数 = n-r
- 判断解的情况并且得到解向量的个数 = n-r
- 通过行最简矩阵得到自由未知量，首非零元与自由未知量确定方程，求方程解，得到各个未知量的解，并且得到每一个基础解系
- 通解为 各个基础解系的k倍和
非齐次线性方程组：
- 步骤与上面基本一致，但是通解为：特解 + 导出组（导出组指的是常数项为0）的基础解系
5. 特征值和特征向量
5.1 基本概念与定理
定义: 设$A$是$n$阶方阵，若存在数$\lambda$和非零向量$\alpha$使得： $A\alpha = \lambda\alpha$， 则称$\lambda$为$A$的特征值，$\alpha$为对应$\lambda$的特征向量。
带参数r的n阶方阵称为A的特征方阵；
它的行列式称为A的特征多项式；
$|\lambda E-A|$=0称为A的特征方程
求解特征值与特征向量的方法：
- n阶实方阵的特征值就是它的特征方程的n个根
- 任意取定一个特征值，其对应特征向量就是相应齐次线性方程组（rE-A）x=0 的所有非零解
例题1：求特征值和特征向量
求矩阵$A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}$的特征值和特征向量。
解：
特征方程：
$$
\begin{vmatrix}
3-\lambda & 1 \\
1 & 3-\lambda
\end{vmatrix} = (3-\lambda)^2 -1 = 0
$$
解得：$\lambda_1=2$，$\lambda_2=4$求特征向量：
- 对$\lambda_1=2$：
$$
\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=0 \Rightarrow \alpha_1=k\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}
$$ - 对$\lambda_2=4$：
$$
\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=0 \Rightarrow \alpha_2=k\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}
$$
5.2 矩阵对角化
对角化条件
- $A$有$n$个线性无关特征向量
- $A$的每个特征值的几何重数等于代数重数
例题：将$A=\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}$对角化。
解：
- 特征值：$\lambda_1=1$，$\lambda_2=3$
- 特征向量：
- $\lambda_1=1$对应$\alpha_1=(1,1)^T$
- $\lambda_2=3$对应$\alpha_2=(-1,1)^T$
- 构造矩阵：
$$
P=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}, \quad
P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}
$$ - 对角化结果：
$$
A=P\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}P^{-1}
$$
5.3 特征值与特征向量的若干结论
实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量。
三角矩阵的特征值：
上下三角矩阵的特征值就是它的全体对角元素。特征向量的唯一性：
一个向量 p 不可能是同一个方阵 A 的不同特征值的特征向量。方阵与其转置的特征值关系：
n阶方阵和它的转置具有相同的特征值。特征值与矩阵的关系：
设 r₁, r₂, …, rₙ 为方阵 A 的全体特征值，则必有：特征值之和等于对角线元素之和（迹）：
$\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = \text{tr}(A)$
特征值之积等于行列式的值：
$\prod_{i=1}^{n} \lambda_{i} = |A|$
6、二次型
$n$元二次齐次函数：
$$
f(x_1,…,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j \quad (a_{ij}=a_{ji})
$$
矩阵形式：$f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$
- A(对称矩阵)称为二次型f的矩阵，对称阵A的秩为二次型f的秩
- 二次型与对称阵具有一一对应的关系，一个二次型 f 由其对应的实对称矩阵 A 唯一确定。当给定了二次型 f 后，便可以确定其对应的实对称矩阵 A
- A 的对角线元素为：$a_{ii}$为$x_{i} ^2$项的系数
- A 的其他元素为： $a_{ij} = a_{ji}$ 为 $x_{ij}$ 项的系数的 $2^{-1}$
例题3：化二次型为标准形
化二次型$f=2x_1^2+3x_2^2+4x_1x_2$为标准形。
解法1（配方法）：
$$
\begin{aligned}
f &= 2x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2 \\
&= 2(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)+x_2^2 \\
&= 2(x_1+x_2)^2+x_2^2
\end{aligned}
$$
令$y_1=x_1+x_2$，$y_2=x_2$，则$f=2y_1^2+y_2^2$
解法2（正交变换法）：
- 写出矩阵$A=\begin{bmatrix}2&2\\2&3\end{bmatrix}$
- 求特征值：$\lambda_1=1$，$\lambda_2=4$
- 标准形：$f=y_1^2+4y_2^2$
6.1 标准型
定义：只含平方项的 二次型称为二次型的标准型
正交变换法化二次型为标准型的方法：
- 写出二次型的矩阵A，求其特征值
- 求出特征值对应的特征向量，并且将他们正交单位化
- 将正交单位化后的特征向量依次作为列向量构成正交矩阵 P。
- 做正交变换 $x=Py$，得二次型的标准型
正交单位化的时候：
- 如果对应不同的特征值，所以他们正交，直接单位化即可
- 如果对应相同的特征值，所以要首先正交化，然后再单位化
6.2 合同
对于两个矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得$C^TAC=B$，就称A合同（或相合）于B，记作A≃B，也是一种等价关系。因此可以称A和B是合同矩阵。