定积分

1. 极限转为定积分

从极限转为定积分的核心思想是通过 黎曼和 将求和问题转化为积分问题。常见的转化公式包括：

1. 均匀分割的求和极限：
   $$
   \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f\left(a + i \cdot \frac{b - a}{n}\right) \cdot \frac{b - a}{n} = \int_a^b f(x) , dx
   $$

2. 无穷级数转定积分：
   $$
   \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = \int_0^1 f(x) , dx
   $$

2.常用的不定积分积分方法

分部积分法

(1) 分部积分法所适用的函数类

$$
\int u d v=uv-\int v d u
$$

(2) 分部积分法所适用的函数类

分部积分法比较适用于两类不同函数相乘。如下列积分，这里 $ p_n(x) $ 为 $ x $ 的 $ n $ 次多项式。

$$
\int p_n(x) e^{ax} dx, \quad \int p_n(x) \sin ax dx,\int p_n(x) \cos ax dx,\quad \int e^{ax} \sin ax dx,
$$

$$
\int e^{ax} \cos ax dx, \quad \int p_n(x) \ln x dx,\int p_n(x) \arctan x dx, \quad \int p_n(x) \arcsin x dx.
$$

(3) 分部积分法中 ( u,v ) 的选取

分部积分法在使用时的关键是 ( u,v ) 的选取，换句话说就是把哪个数凑到微分号里去。

1. $\int p_n(x) e^{ax} dx, \int p_n(x) \sin ax dx, \int p_n(x) \cos ax dx$，这3种积分都应多项式以外的函数凑进微分号。
2. $\int e^{ax} \sin ax dx, \int e^{ax} \cos ax dx$，这2种积分把指数函数或三角函数凑进微分号都可以，但把指数凑进去更简单，连续两次将指数函数凑进去分部积分还原便可求解。
3. $\int p_n(x) \ln x dx, \int p_n(x) \arctan x dx, \int p_n(x) \arcsin x dx$，这3种积分都应多项式函数凑进微分号。

---

第二换元积分法

定理 设 $ x = \varphi(t) $ 是单调的、可导的函数，并且 $\varphi’(t) \neq 0$。又
$$
\int f[\varphi(t)]\varphi’(t)dt = F(t) + C,
$$

则
$$
\int f(x)dx = \int f[\varphi(t)]\varphi’(t)dt = F(t) + C
$$

$$
= F[\varphi^{-1}(x)] + C,
$$

其中 $ \varphi^{-1}(x) $ 是 $ x = \varphi(t) $ 的反函数。

常用的三种变量代换：

1. 被积函数含有 $ \sqrt{a^2 - x^2} $，令 $x = a\sin t $ (或 $a\cos t$)。

2. 被积函数含有 $\sqrt{a^2 + x^2}$，令 $x = a\tan t$。

3. 被积函数含有 $\sqrt{x^2 - a^2}$，令 $x = a\sec t$。

---

三角有理式积分

$$
\int R(\sin x, \cos x) dx
$$

(1) 一般方法（万能代换）

令 $\tan \frac{x}{2} = t$，

$$
\int R(\sin x, \cos x) dx = \int R\left( \frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) \frac{2}{1+t^2} dt
$$

(2) 特殊方法（三角变形，换元，分部）

几种常用的换元法：

1. 若 $R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x)$，则令 $u = \cos x$，或凑 $d \cos x$。

2. 若 $R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)$，则令 $u = \sin x$，或凑 $d \sin x$。

3. 若 $R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$，则令 $u = \tan x$，或凑 $d \tan x$。

---

3.定积分的积分方法

定积分的计算主要有以下五种方法：

1. 牛顿—莱布尼茨公式

设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则有
$$
\int_a^b f(x) dx = F(x) \bigg|_a^b = F(b) - F(a)。
$$

2. 换元积分法

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，函数 $x = \varphi(t)$ 满足以下条件：

1. $\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b$。
2. $\varphi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$（或 $[\beta,a]$）上有连续导数，且 $R_\varphi \subseteq I$，则
   $$
   \int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)] \varphi’(t) dt。
   $$

3. 分部积分法

$$
\int_a^b u dv = uv \bigg|_a^b - \int_a^b v du。
$$

4. 利用奇偶性和周期性

(1) 设 $f(x)$ 为 $[-a,a]$ 上的连续函数 ($a>0$)，则
$$
\int_{-a}^{a} f(x) dx =
\begin{cases}
0, & f(x) \text{为奇函数时}, \\
2 \int_{0}^{a} f(x) dx, & f(x) \text{为偶函数时}.
\end{cases}
$$

(2) 设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则对任给数 $a$，总有
$$
\int_{a}^{a+T} f(x) dx = \int_{0}^{T} f(x) dx.
$$

5. 利用已有公式

(1)
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx =
\begin{cases}
\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{为正偶数}\\
\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3}, & n \text{为大于1的奇数}
\end{cases}
$$

(2)
$$
\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx \quad (\text{其中} f(x) \text{连续}).
$$